geometría plana (axiomas y postulados )

axiomas

1. si a cantidades iguales se agregan o quitan cantidades iguales los resultados son iguales 
2. si a cantidades iguales se multiplican o dividen cantidades iguales los resultados son iguales
3. si a cantidades iguales se elevan a la misma potencia o si a ambas se les extrae la misma raíz los resultados son iguales
4. si en los 2 miembros de una desigualdad se ejecuta una misma operación con números positivos el sentido de la desigualdad no se altera 
5. si se suman 2 desigualdades de un mismo sentido los resultados los resultados son desiguales en el mismo sentido 
6. si los 2 miembros de una desigualdad se restan de  los 2  de una igualdad los resultados son de siguales en sentido opuesto de la desigualdad dada 
7. dos cantidades iguales a una tercera lo son entre si
8. toda cantidad puede reemplazarse con su igual
9.  si un cantidad es mayor que otra y esta mayor que una tercera la primera es mayor que la tercera
10. el todo es mayor que cualquiera de sus partes 

 postulados

1. por 2 puntos dados cualesquiera puede hacerse pasar una recta y solo una 
2. toda recta puede prolongarse en ambos sentidos
3. el camino mas corto entre 2 puntos es la recta que los une
4. es siempre posible describir una circunferencia de centro y radio dados 
5. toda figura puede hacerse cambiar de posición sin alterar u forma ni sus dimensiones
6.  todos los ángulos de lados lineales son iguales 

corolarios 

1.  2 puntos determinan una recta
2. dos rectas no pueden cortarse en mas de un punto
3. todos los ángulos rectos son iguales
4. en un punto cualquiera de la recta puede levantarse una perpendicular  a esta y solo una 
5. ángulos iguales tienen complementos iguales suplementos iguales y conjugados iguales 
6. un angulo mayor que otro tiene menor complemento, suplemento y conjugado que ese otro

figuras rectilíneas

teorema 1

dos ángulos opuestos por el vértice son iguales 

demostración: <AOB=<COD

<AOB+<BOC=180

<BOC+<COD=180         por ángulos suplementarios 

<AOB+<BOC=<<BOC+<COD   postulado 6

<AOB=<COD  axioma 1

teorema 2

si 2 lados de un triangulo y el angulo comprendido so respectivamente iguales a los lados y el angulo comprendido de otro triangulo los 2 triángulos son iguales

demostración : ^ABC=^XYZ

creamos un triangulo igual xyz  (por postulado 5)

AB=XY

<A=<X

AC=XZ

CB=ZY  postulado 1

^ABC=^XYZ  los 2 ángulos son congruentes por lo tanto son iguales

teorema 3

2 triángulos son iguales si tienen iguales respectivamente un la do y los ángulos adyacentes a este lado 

demostrar : ^ABC=^XYZ

creamos un triangulo igual de modo que ab coincida con xy (por postulado 5)

<A=<X

<B=<Y

<C=<Z  (por corolario 2)

^ABC=^XYZ (dos triángulos son iguales cuando se puede hacer coincidir en todas sus partes )lqqd

teorema 4

en todo triangulo isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales 

demostrar: <a=<b

se trasa la bisectriz cd del < acb quedando ^ACD Y BDC

AC=BC (por hipot)

CD=CD (por identidad)

<ACD=<DCB (por construcción )

^ADC=^DCB (por teorema 2)

<A=<B (las partes homologas de 2 figuras congruentes son iguales)lqqd

teorema 5

si dos ángulos de un triangulo son iguales los lados opuestos son iguales y el triangulo es por lo tanto isósceles 

demostrar: AC=BC

se crea el ^A`B`C` (por postulado 5)

B`A` coincida AB (por postulado 1)

<A`=<B`(por hipot)

<A=<A`(por hipot)

<A=<B`(por axioma 7)

B`C`=AC

A`C`=BC

BC=AC

teorema 6

 si los 3 lados de un triangulo son respectivamente iguales a los 3 lados del otro los 2 triángulos son iguales

demostrar: ^abc=<a`b`c`

tracese   CC`

AC=AC`, BC=BC` (por hipot)

<ACC`=CC`A  y  <C`CB=<BC`C (por teorema 4)

<ACC`+<C`CB=<CC`A+<BC``C (por axioma 1)

<ACB=<BC`A (por axioma 8)

^ABC=^ABC`(por teorema 2)

^ABC=^A`B`C` lqqd

teorema 7

si de un punto situado en el interior de un triangulo se traza rectas a los extremos de uno de los lados la suma de estas rectas es menor que la suma de los otros 2 lados de triangulo 

demostrar que : ca+cb>pa+pb

prolonguese ap asta su interseccion q con el lado cb (por postulado 2)

ca+cq>pa+pq(por postulado 3)

bq+pq>pb (por postulado 3)

ca+cq+bq+pq>pa+pq+pb (por axioma 5)

ca+cb+pq>pa+pq+pb (por axioma 8)

ca+cb>pa+pb  lqqd

teorema 8

de un punto exterior a una recta no puede bajarse a esa recta mas de una perpendicular 

demostrar : pz no es |a xy

prolongando po hasta p´,haciendo op´ igual a la perpendicular op (por postulado 2)

tracese p´z (por postulado 1)

pop´es una recta por constuccion

pzp´no es una recta (por postulado 1)

<p´zp no es colineal

<poz y <zop´ son angulos rectos

<poz=<zop` (por corolario 3)

op=op`(por construcion)

oz=oz (por identidad)

^opz=^op`z (por teorema 2)

<ozp=<ozp' (por partes homologas)

<ozp, mitad <p`zp no es recto

pz no es | a xy lqqd

teorema 9

si de un punto de una perpendicular a una recta se traza a la recta dos oblicuas cuyos pies estén a igual distancia del pie de la perpendicular esas dos oblicuas son iguales y forman ángulos iguales con la perpendicular 

demostrar que pa=pb y que <apo=<bpo

<poa y <bop son angulos rectos
<poa =<pob (por corolario 2)
oa=ob (por hipotesis)
po=po (por identidad)
^aop=^bop (por teorema 2)
pa=pb
<apo=<bop (por partes homologas)lqqd

teorema 10

si de un punto de una perpendicular a una recta se traza a esa recta 2 oblicuas cuyos pies no equidisten de la perpendicular, la oblicua cuyo pie dista mas es mayor que otra 

demostrar pa>pc

pb=pc (por teorema 9)

pa=p`a y pb=p`b(por teorema 9)

pa+p`a>pb+p`b(por teorema 7)

2pa>2pb y pa>pb (por axioma 8)

pa>pc (por axioma 8) lqqd

teorema 11

la perpendicular es la mas corta de las rectas que pueden trazarse a una recta de un punto situado fuera de ella 

teorema 12

dos triángulos rectángulos son iguales si la hipotenusa y un cateto de uno son respectivamente iguales a la hipotenusa y un cateto del otro 

teorema 13

dos triangulos rectángulos son iguales si tienen iguales respectivamente la hipotenusa  y uno de los ángulos adyacentes  a ella

teorema 14

dos rectas situadas en un mismo plano perpendiculares a una tercera no pueden encontrarse por mas que se prolonguen 

teorema 15

si dos o mas rectas son paralelas toda perpendicular a una de ellas es perpendicular a las otras 

teorema 16

si dos paralelas son cortadas por una transversal los ángulos alternos-internos son iguales

 teorema 17

si dos rectas situadas en un mismo plano forman con una transversal ángulos alternos-internos iguales esas dos rectas son paralelas 

teorema 18

si dos paralelas son cortadas por una transversal los ángulos correspondientes son iguales 

teorema 19

la suma de los tres ángulos de un triangulo es igual a dos rectos  

teorema 20

la suma de dos lados cualesquiera de un triangulo es mayor que el tercer lado y la diferencia menor 

teorema 21

si los lados de un triangulo son desiguales al mayor lado se opone mayor angulo 

teorema 22

si dos ángulos de un triángulo son desiguales al mayor angulo se opone mayor lado 

teorema 23

si dos lados de un triangulo son respectivamente iguales a los lados de otro y el angulo comprendido por los dos primeros es mayor que el comprendido por los dos segundos el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo 

teorema 24

si dos lados de un triangulo son respectivamente iguales a dos lados de otro y el tercer lado del primer triangulo es mayor que el tercer lado del segundo el angulo opuesto al tercer lado es mayor en el primer triangulo que en el segundo 

teorema 25

si los lados de un angulo son respectivamente paralelos a los de otro los dos ángulos son iguales o suplementarios

teorema 26

en todo paralelogramo cada lado es igual a su opuesto 

teorema 27

si cada lado de un cuadrilátero es igual a su opuesto, el cuadrilátero es un paralelogramo 

teorema 28

si dos lados  de un cuadrilátero son iguales y paralelos los otros dos también lo son y por lo tanto el cuadrilátero es u paralelogramo

teorema 29

las diagonales de un paralelogramo se dividen mutuamente en partes iguales 

teorema 30

si dos lados adyacentes de un paralelogramo y el angulo comprendido son respectivamente iguales a los de otro loa dos paralelogramos son iguales

teorema 31

si dos segmentos determinados en una transversal de tres o mas paralelas son iguales, también son iguales los determinados en cualquiera otra transversal  por las mismas paralelas 

cuadriláteros 

corolario 1. si una recta bisecta un lado de un triangulo y es paralela a otro lado bisecta también el tercer lado 

corolario 2. las rectas que unen los puntos medios de los lados de un triangulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad de ese lado

corolario 3. la recta que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es igual a la semisuma de la bases  

teorema 32

la suma de los ángulos internos de un polígono es igual a las dos rectas multiplicado por el numero de lados del polígono menos dos

teorema 33

la suma de los ángulos externos de un polígono formados prolongando los lados sucesivamente es igual a cuatro rectos 

teorema 34 

la perpendicular bisectriz de una recta es el lugar  geométrico de todos los puntos equidistantes de los extremos de la recta 

teorema 35

el lugar geométrico de los puntos equidistantes de dos rectas que se cortan consta de las 2 bisectrices  de los ángulos formados por las dos rectas